Atari Gold

home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search

/ Atari Gold / Atari Gold.iso / fractals.v / hilfen.txt < prev next >

Wrap

Text File | 1996-01-18 | 80.9 KB | 1,347 lines

########### KAPITEL 1: ############## Mathematische Grundlagen für komplexe Fraktale Alle Mathematik-Experten möchten wir jetzt schon um Nachsicht bitten, wenn wir uns im folgenden um eine für Nichtfachleute verständliche Ausdrucksweise bemühen (den Fachleuten und einschlägig Interessierten unter Ihnen, die unsere Erklärungen für zu vereinfacht halten, möchten wir hiermit auf das Literaturverzeichnis im Anhang verweisen!). Dies wird also kein anspruchsvoller Exkurs in die Gefilde der höheren Mathematik, sondern lediglich eine kleine Einführung in die Grundlagen der fraktalen Mathematik, so daß auch mathematisch nicht so sehr Bewan- derte zumindest eine Vorstellung haben, worum es in diesem Programm überhaupt geht. Was sind überhaupt komplexe Zahlen, wozu braucht man diese scheinbar komplizierten Gebilde? Vielleicht haben Sie noch aus Ihrer Schulzeit die Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung "x2 + px + q = 0" mit "p" und "q" als beliebige Konstanten in Erinnerung. Diese lautet ganz allgemein: x = - p/2 +- Wurzel aus ((p^2) / 4 - q) 1, 2 Mit der Lösung dieser Gleichung werden Sie spätestens dann Probleme bekommen haben, wenn der Ausdruck "p^2/4" kleiner als "q" ist, also der Ausdruck unter der Wurzel, der Radiant, kleiner als Null werden würde. Man sagt auch, daß diese Funktion dann keine reelle Lösung besitzt. Um trotzdem solche Funktionen lösen zu können, hat man die komplexen Zahlen eingeführt, die aus einer realen und einem imaginären Anteil be- steht. Für so eine komplexe Zahl schreibt man z = a + bi, wobei "i" als imaginäre Einheit mit der seltsamen Eigenschaft "i = Wurzel aus -1" defi- niert ist. Damit hat sich das Problem der negativen Wurzel gelöst: Die "Wurzel aus -1" wird als Konstante ausgeklammert mit der gegebenen Lösung i. Komplexe Zahlen haben daher stets eine reale Komponente "a" und eine komplexe Komponente "b", wobei alle reellen Zahlen als Sonderfall mit "b = 0" betrachtet werden können. Um dies zu veranschaulichen, kann eine komplexe Zahl als Punkt "Z = a + i b" auf der "komplexen oder Gauß- schen Zahlenebene" beschreiben werden. Mit komplexen Zahlen läßt sich wie mit Koordinatenpaaren rechnen: Addition und Subtraktion werden komponentenweise berechnet, für die Multiplikation gilt das gemischte Produkt, z.B. (3 + 7i) * (2 - 4i) = 3*2 - 3*4i + 2*7i - 7*4i^2 = 6 + 2i - 28i^2. Für i^2 gilt nun: i^ 2 = -1, so daß die entgültige Lösung lautet: (3 + 7i) * (2 - 4i) = 2i - 22. Die Berechnung von fraktalen Bildern vollzieht sich auf der Grundlage dieser komplexen Mathematik, wobei höhere Funktionen wie "sin" oder "tan" mit teilweise erheblichem Aufwand formuliert werden müssen - damit möchten wir Sie hier nicht behelligen. Die Standardformel "z^2 + c" (Grundlage des "normalen" Apfelmännchens) läßt sich jedoch recht einfach herleiten (binomische Formel!): z^2 + c = (a + i b)^2 + (cx + i cy) = a^2 + 2abi + (i b)^2 + (cx + i cy) = a^2 - b^2 + cx + (2ab + cy) i Hierbei ist der linke Summand der Realteil, der rechte Summand der imagi- näre Teil. Die Koeffizienten "a" und "b" sind die Koordinaten des zu berechnenden Punktes, "c" ist eine komplexe Konstante mit den Koeffizienten cx und cy. Die Berechnung von Fraktalen erfolgt nun punktweise durch eine Iteration innerhalb eines definierten Bildausschnitts. Hierbei liegen alle Punkte eines Bildes zwischen "X-Min" bis "X-Max", den reellen Bildgrenzen, und "Y-Min" bis "Y-Max", den imaginären Bildgrenzen. Die Iteration ist eine Berechnungsmethode, bei der das Ergebnis der vor- herigen Berechnung als Eingangswert in die laufende Berechnung eingeht, und in der Literatur auch als "Rückkopplungsmaschine" bezeichnet wird. Für die komplexe Standardfunktion "z^2 + c" sieht dies formal so aus: z <- z^2 + c n+1 n Bei der Mandelbrot- und Juliamenge werden für "z" als Startwert jeweils die Koordinaten des zu iterierenden Punktes evt. zuzüglich einer additiven Konstanten - im allgemeinen aber Null - genommen. Die Konstante "c" ist bei der Mandelbrotmenge abhängig von den Bildpunkt-Koordinaten, bei der Juliamenge werden hier jedoch festzulegende Konstanten, die sogenannten "Julia-Konstanten" eingesetzt. Jeder Bildpunkt einer Mandelbrotmenge ist der Ausgangspunkt einer eigenen Juliamenge! Dies läßt sich mit unserem Programm durch Wahl der Julia- Konstanten aus einem vorhandenen Mandelbrot-Bild sehr einfach veranschau- lichen. Ein wohl bekanntes Charakteristikum von Fraktalen ist deren "Selbstähn- lichkeit". Dies bedeutet, daß Einzelheiten eines Bildes mit nur geringen Abweichungen bei zunehmender Vergrößerung immer wiederkehren. Grundsätz- lich besteht jede fraktale Struktur aus unendlich vielen gleichartigen Strukturen, d.h. eine Spirale setzt sich aus kleineren Spiralen zusammen, die wiederum aus noch feineren "Spirälchen" bestehen. Diese Eigenschaft läßt sich bis in beliebig hohe Vergrößerungen nachvoll- ziehen. Gleichzeitig muß mit zunehmender Vergrößerung aber die Rechentiefe erhöht werden, damit weitere, feinere Einzelheiten auftauchen können. Beim Standard-Apfelmännchen, der Grundfigur der Iterationsformel "z^2 + c", genügt eine Rechentiefe von 50. Es hat nicht viel Zweck, diesen Wert hochzusetzen ohne gleichzeitig eine Einzelheit des Bildes (wie unter dem Mikroskop) zu vergrößern. Die feinen Strukturen dieser Figur gruppieren sich in einem sehr schmalen Bereich um das apfelähnliche Gebilde, das im allgemeinen schwarz eingefärbt ist. Dieses Gebiet wird als die eigentliche Mandelbrotmenge bezeichnet, da sie sich selbst bei nahezu unendlich vielen Rechenschritten nur noch im Detail verändert - genauer gesagt, schnüren sich die einzelnen "Knospen" des Apfelmännchens immer stärker ein. Der Bereich um das Apfelmännchen herum erhält dadurch seine Färbung, daß die Berechnung bei Überschreitung eines bestimmten Grenzwerts - im Programm "Radius" genannt - abgebrochen und einer Farbe zugeordnet wird. Zum Beispiel ist in der 23. Iteration das Ergebnis der Iterationsformel größer als der Radius 4. Der Bildpunkt, für den diese Iteration vorgenom- men wurde, erhält also die Farbe, die für "Tiefe = 23" vereinbart wurde. Um zur Selbstähnlichkeit zurückzukehren: Die Juliamenge eines bestimmten Bereichs der Mandelbrotmenge enthält Strukturen, die bei dieser oft erst bei sehr hohen Vergrößerungen sichtbar werden. Eine Juliamenge kann somit als Indikator für möglicherweise interessante fraktale Strukturen in einer Mandelbrotmenge dienen. Ein weiteres Charakteristikum ist, daß Juliamengen von Koordinaten innerhalb der geschlossenen Struktur des Apfelmännchens zusammenhängende, außerhalb mehr oder weniger verstreute Gebilde ergeben (Das dynamische Verhalten der Julia-Menge während der Iteration kann im Menü "Zeige Bildkoordinaten" untersucht werden). Entscheidend für die Kompexität einer fraktalen Struktur ist also die Entfernung von der Grund- figur! Biomorphe unterscheiden sich von den Juliamengen lediglich durch eine mo- difizierte Abbruch-Bedingung sowie einer geänderten Farbzuordnung. Fassen wir noch einmal zusammen, welche Parameter zur Definition einer Mandel- brot- und Juliamenge unabdingbar sind (in Klammern die programmeigenen Bezeichnungen): - die Ausschnittskoordinaten (X-min, X-max, Y-min und Y-max) - die Rechentiefe (Tiefe-Max) - bei Mandelbrot-Bildern eventuelle (additive) Startkonstanten (Add-X und Add-Y) - bei Juliamengen bzw. Biomorphen die Iterationskonstanten (Cx und Cy) - der Radius als Abbruch-Bedingung - und natürlich die Bildgröße. ############# KAPITEL 2 ############# Bild - Iteration Grundsätzlich können fraktale Grafiken auf drei unterschiedliche Weise er- zeugt werden: - Auswahl einer der zahlreichen Formeln im Formel-Menü, Berechnung der dazu- gehörenden Grundfigur (im Mandelbrotmodus auf Knopfdruck) und Hinein- zoomen durch Berechnung von Ausschnittsvergrößerungen. - Explizite Eingabe aller Bildparameter durch Übernahme aus anderen Pro- grammen oder aus Büchern. - Automatische Berechnung von Bildern anhand ihrer Bildparameter aus einer beiliegenden oder selbst erstellten Parameterdatei. 1. Auswahl von Iterationstyp und Iterationsformel: Die Wahl des Iterationstyps und der Iterationsformel im Dialog "Itera- tionsformel" im Menü "Iteration" muß immer dann vorgenommen werden, wenn eine neue Grundfigur erzeugt oder Bildparameter manuell eingegeben werden sollen. Will man dagegen aus einem vorhandenen Bild zoomen, werden Iterationstyp und -formel des Ausgangsbildes übernommen. FRACTALS V unterstützt neben den "klassischen" Mandelbrotmengen eine Vielzahl weiterer Iterationstypen. Im einzelnen sind dies: - Juliamengen und Biomorphe, die mit der Mandelbrotmenge eng verwand sind; auf den mathematischen Hintergrund wird im 1. Kapitel näher ein- gegangen. - Newton-Attraktoren, die, vereinfacht ausgedrückt, eine graphische Me- thode zur Nullstellenberechnug darstellen und äußerst grazile Struktu- ren aufweisen. Auch das Newton-Verfahren arbeitet mit komplexen Zahlen. - Feigenbäume. Hierbei handelt es sich um eine Methode zur Untersuchung des chaotischen Verhaltens einer nicht-komplexen Iterationsformel. - Hüpfer-Diagramme stellen den Verlauf einer Iteration zweidimensional dar, wobei jedem (x,y)-Funktionswert ein Bildpunkt zugeordnet wird. - Henon-Attraktoren erinnern an Hüpfer-Diagramme, von Ihrer mathemati- schen Entstehungsweise sind sie jedoch eher mit einem "zweidimensiona- len" Feigenbaum vergleichbar. - L-Systeme: Iterative Berechnung von Fraktalen aus Linienelementen mit Hilfe einer "Schildkrötensprache". - Iterierte Funktionssysteme (IFS) : Hierbei werden graphische Grundele- mente einer rekursiven Koeffiziententransformation unterzogen. Dies hört sich zwar ziemlich kompliziert an, ist aber sehr anschaulich nachvollziehbar! Zu den Newton-Attraktoren, den Feigenbäumen, L-Systemen und IFS gibt es ausführliche Erläuterungen im Handbuch-Ergämzungstext "FRAC V.TXT" Zu jedem Iterationstyp gibt es eine Anzahl vordefinierter Iterationsfor- meln, die klassische Mandelbrotmenge basiert auf der Formel "z^2 + c". Bei dieser Formel kann zwischen den Abbruchtypen "Radius" und "Distance Estimator" gewählt werden, der das Aussehen des berechneten Bildes be- stimmt. Das Distance-Estimator-Verfahren ist zwar sehr rechenaufwendig, belohnt jedoch mit besonders "sauberen" Strukturen. 2. Berechnung der Grundfigur: Hat man nun eine Iterationsformel ausgewählt, kann sofort die Grundfigur zu dieser Formel berechnet werden. Ausnahmen bilden die Juliamengen und Biomorphe - diese benötigen die Iterationsparameter "Cx" und "Cy", die als (x,y)-Koordinate mit Hilfe eines Koordinatenkreuzes aus einer vor- handenen Mandelbrotmenge gewonnen werden. Die Iterationstypen Henon und Hüpfer haben auf Grund der beliebigen Iterationsparameter keine fest eingestellten Grundfiguren, bei diesen empfiehlt es sich, die dem Pro- gramm beigelegten Parameterdateien berechnen zu lassen und dann durch Abwandlung der Parameter (explizite Parametereingabe) eigene Versuche zu starten. Bei den Iterationstypen L-System und IFS kann vor Berechnung der Grund- figur in speziellen Dialogboxen zumindestens die Iterationstiefe einge- stellt werden. Zur Minimierung der Berechnungszeit bei zeilenweise aufgebauten Itera- tionstypen werden unterschiedliche Strategieen angewendet: - Spiegelung an der Y-Nullachse. Da fast alle Mandelbrotmengen symme- trisch zur Y-Achse sind, können symmetrisch vorhandene Bildteile ge- spiegelt werden. - Mit verschiedenen Interpolations-Algorithmen (Punkt-Interpolation, Zeilen-Interpolation und Flächen-Interpolation, einstellbar unter "globale Parameter" im "Diverses"-Menü) kann die Berechnung auf Kosten der Genauigkeit beschleunigt werden. Normalerweise ist die Fehlerrate jedoch so gering, daß sie kaum stört. - Das "Preview"-Verfahren berechnet ein Bild durch schrittweise Verfei- nerung. Ausgehend von 32 * 32 Pixel großen Kästchen wird das Bild in jedem Durchgang bei halbierter Kästchengröße (verdoppelter Auflösung) neu berechnet. So kann man sehr schnell einen ersten Eindruck vom Ge- samtbild gewinnen, ohne das Bild komplett fertig berechnen zu müssen. Grundsätzlich läßt sich jede Iteration mit der Escape-Taste stoppen. Allerdings wird immer erst ein Bildstreifen zu Ende gerechnet, damit bei Bedarf die Berechnung in der nächsten Bildzeile problemlos fort- gesetzt werden kann, auch mit einer anderen Interpolation. 3. Berechnung von Ausschnittsvergrößerungen (Zoomen): (nicht möglich bei L-Systemen und iterierten Funktionssystemen). Bei den meisten Iterationstypen und -formeln tauchen interessante Bild- strukturen erst bei sehr starker Vergrößerung auf. Diese Strukturen ver- stecken sich bei Mandelbrotmengen in dem sehr schmalen Bereich, der die geschlossene eigentliche Mandelbrotmenge umgibt. Beim "Zoomen" wird am aktuellen Bild zunächst die Größe des Ausschnitts- rahmens und die Proportion Breite : Höhe festgelegt. Letztere zeigt das Programm in der oberen Fensterzeile an. Anschließend läßt sich der Aus- schnitt durch Verschieben noch positionieren. Anschließend werden in einem Dialog u.a. die Koordinaten des neuen Aus- schnitts angezeigt. Hier läßt sich auch die Bildgröße des neuen Bildes einstellen, die zunächst auf den maximal möglichen Wert gesetzt ist. Die Änderung der Bildbreite und -höhe erfolgt so, daß das Bild unverzerrt bleibt. Mit der Taste "Entzerren" können Rechenungenauigkeiten oder Ver- zerrungen kompensiert werden, die z.B. beim Laden von Bildern aus anderen Auflösungen entstehen. Weiterhin muß die Rechentiefe angepaßt werden. Normalerweise reicht eine Verdopplelung der Rechentiefe aus, wenn man eine etwa 10fache Vergrößer- ung des Ausgangsbildes anstrebt. FRACTALS verlangt zusätzlich die Eingabe eines neuen Namens und generiert hierzu einen eigenen Namen, der sich aus dem Anfangsbuchstaben des Itera- tionstyps, der Nummer der aktuellen Formel und einer fortlaufenden Nummer zusammensetzt). Mit diesen Namen werden die Mitglieder einer Bildfamilie auseinandergehalten. 4. Explizite Parametereingabe: Einige Iterationsparameter lassen sich nur explizit ändern, z.B. der Radius als Abbruchparameter oder die Iterationskonstanten "Add-X" und "Add-Y" bei Mandelbrotmengen, die in den Grundfigurparametern vor- eingestellt Null sind. Im Dialog "Explizite Werte" lassen sich alle Iterationsparameter, abhängig vom eingestellten Iterationstyp, ändern. Wählt man diesen Dialog über das "Iterations"-Menü (oder [^W]), so über- nimmt das Programm Typ und Formel aus dem Formel-Dialog. Will man dage- gen Parameter eines vorhandenen Bildes ändern, so muß man den Umweg über das "Bild-Pop-Up" wählen (Doppelklick auf das Bild, "Parameter ändern" wählen). Die Daten des aktuellen Bildes werden in die Eingabe-Felder des Dialoges eingetragen. Beim Mandelbrot-Typ lassen sich die Iterationskonstanten "Add-X" und "Add-Y" - hier "Startwerte" genannt - ändern, außerdem die Ausschnittskoordinaten, der Radius, die Rechentiefe oder die Bildgröße. Gibt man einmal andere Startkonstanten an, z.B. "ADD-X = -0.2" und "ADD-Y = 0.1", ohne die anderen Parameter zu ändern, so wird das Apfel- männchen der Formel "z^2 + c" in merkwürdiger Weise verzerrt. 5. Definition einer Bilderfolge mit Hilfe der Parameterdatei: Mit "Bilderfolge definieren" im Menü "Iteration" kann eine - Bildfolge durch schrittweise Vergrößerung, also eine Zoomen-Folge oder - ein Poster durch Aufteilung eines Bildes in bis zu 8 * 8 = 64 Teil- Bilder berechnet werden. Als Ausgangsbild wird immer das Bild im aktuellen Bildspeicher verwendet. Das Zielbild kann auf folgenderweise definiert werden: - Wahl eines Bildspeichers mit dem Bildspeicher-Pop-Up. Das Zielbild muß eine Vergrößerung des Ausgangsbildes sein, also vollständig innerhalb der Koordinaten des Ausgangsbildes liegen. - Definition eines Zielausschnitts wie beim Zoomen. - Laden der Parameter des Zielbildes von einer abgespeicherten Bilddatei. Weiterhin muß die Anzahl der zu berechnenden Zwischenbilder angegeben werden. Die Höchstgrenze liegt bei 4095 Bildern! Mit zunehmender Vergrößerung muß natürlich auch die Rechentiefe erhöht werden. Diese wird für das Zielbild angegeben und vom Programm für die Zwischenbilder kontinuierlich von der Tiefe des Ausgangsbildes zu der des Zielbildes erhöht. Alle Bilder werden in einer festzulegenden Bildgröße berechnet,wobei sich der Bildausschnitt an Seiten- und Höhenverhältnisse des Ausgangsbildes anpaßt. Der Bildname der Bildfolge kann durch 5 Buchstaben (z.B."SERIE") fest- gelegt werden. Die restlichen drei Zeichen dienen dazu, die Bilder mit hexadezimalen Zeichen durchzunumerieren. Das erste Bild hat also den Namen "SERIE001", das letzte bei insgesamt 4095 würde "SERIEFFF" heißen. Mit dem Button "Anzeigen..." werden die Ausschnitte als Rahmen ins Aus- gangsbild eingezeichnet. Für einen kontinuierlich wirkenden Film mit nicht zu großen Sprüngen sollte die relative Vergrößerung nicht größer als 30 bis 50 Prozent des jeweils vorherigen Bildes betragen. Auch mit den Dialogen "Zoomen" und "explizite Werte" können die Bildpara- meter in eine Bildparameterdatei abgespeichert werden, ohne das Bild so- fort berechnen zu müssen. Beispielsweise lassen sich so kontinuierliche Änderungen von Iterationsparametern einstellen und nacheinander in EINE Parameterdatei schreiben, wobei die Parameter an eine bestehende Datei angehängt werden, es sei denn, man definiert eine neue Parameterdatei. 6. Das Tiefenwertfeld: Mit Hilfe des während der Itertation angelegten Tiefenwertfeldes, das zu- dem sehr effizient komprimiert ist, können Fraktale in Graustufen oder (unabhängig von der eingestellten Farbpalette) farbig nachbearbeitet wer- den. Weiterhin ist eine dreidimensionale Ausgabe möglich. Dieses Tiefen- wertfeld enthält die zu jedem Bildpunkt berechnete oder interpolierten Werte und somit die eigentliche Bildinformation als Zahlen zwischen "1" und der maximalen Rechentiefe. Auf die Möglichkeiten zur Bildbearbeitung wird im Kapitel 2 genauer eingegangen. Für die Iteration ist es nur wichtig, dieses Feld ausreichend groß zu dimensionieren. Sollte das Tiefenwertfeld während der Iteration überzulaufen drohen, wird die Bildberechnung mit einem entsprechenden Warnhinweis abgebrochen. Da die Tiefenwertfeldgröße sehr stark von der Komplexität des Bildes ab- hängt, ist es kaum möglich, seine exakte Größe vorherzusagen. Als Faust- regel kann man die Tiefenwert-Speichergröße unter "Speicher-Information" (Menü "Diverses") auf maximale Bildbreite * Bildhöhe * 0.75 einstellen. Für das Preview-Verfahren sowie bei der Berechnung von Hüpfern muß das Tiefenwertfeld aber mindestens Bildbreite * Bildhöhe groß sein! 7. Wahl des Ausgabetyps: Normalerweise werden Bilder für den Bildschirm berechnet und zeilenweise ausgegeben. Hierbei ist der Rechner bei Multitasking-Betriebssystemen jedoch für andere Anwendungen blockiert, und die Bildgröße ist durch die vorgegebene oder eingestellte Bildschirmauflösung begrenzt. Um dies zu ändern, kann im "Einstell"-Dialog der Ausgabetyp geändert werden: - "Bildschirm/ohne Ausgabe": Das Bild wird erst nach Beendigung der Ite- ration graphisch aufgebaut und zwar mit Hilfe der berechneten Tiefen- werte. - "Offscreen": Mit Hilfe der seit NVDI 2.5 möglichen "Enhancer"-Funktion lassen sich die Grafik-Informationen in einen Speicherbereich leiten. Dadurch ist die Bildgröße nur noch durch den zur Verfügung stehenden Speicherbereich beschränkt! - "Drucker: Superformat": Hiermit kann ein Bild direkt für die Drucker- ausgabe berechnet werden, die Bildgröße ist durch die mögliche Auf- lösung des Druckers begrenzt. Neben der Ausgabe in S/W oder Graustufen ist neuerdings auch eine Farbdruck-Ausgabe (unabhängig von der einge- stellten Bildschirm-Auflösung!) möglich. - Ausgabe in eine Export-Datei vom Typ "IMG" für schwarz-weiße Darstel- lungen und "TIFF" für Farbbildern. Bilddateien dürfen eine max. Größe von 5000 * 5000 Punkten besitzen. Wird einer dieser Ausgabetypen gewählt, kann FRACTALS unter Multitasking verlassen werden. Ein Zurückkehren ist jedoch erst möglich, wenn das Bild zu Ende berechnet wurde. 8. Abarbeiten einer Parameterdatei: Das automatischen Abarbeiten einer Parameterdatei erfolgt mit dem Menü- eintrag "Iteriere ... nach Parameter-Datei" im "Iterations"-Menü. Nach dem Laden einer solchen Datei, von der sich bereits mehrere auf der Bilder-Diskette (HD-Version: Programm-Diskette) befinden, kann man in einer Dialogbox diverse Einstellungen vornehmen: - In der Namensliste sind die Namen aller in der Parameterdatei vorhan- denen Bildparameter verzeichnet. Diese läßt sich mit den Scrollpfeilen und -schiebern durchblättern. Anfang und Ende der zu berechnenden Bilder sind in der Bilderliste markiert: Das erste Bild durch ein Häkchen, das letzte durch ein Uhrensymbol. Mit einem Maustastenklick auf einen Listeneintrag wird das erste zu berechnende Bild gesetzt; mit Klick + Shift wird das letzte zu berechnende Bild gesetzt. Bilder, die sich nicht berechnen lassen, z.B. wegen der Bildgröße, werden in grauer Schrift dargestellt und in der Nummerierung nicht berücksich- tigt. - Die Maximalzahl der zu berechnenden Bilder hängt davon ab, ob die Bil- der nach Fertigstellung in die Bildspeicher gepackt ("RAM") werden oder als Bildatei ("Disk") abgespeichert werden sollen. Im ersten Fall kön- nen maximal 20 Bilder iteriert werden. Bei nicht ausreichendem Spei- cherplatz (Festplatte oder Hauptspeicher) bricht die Berechnung der Bildfolge natürlich vorher ab. - In der Namensliste wird außerdem der Ausgabetyp angezeigt (Bildschirm mit oder ohne Ausgabe; Druckerausgabe bzw. IMG- bzw. TIFF-Ausgabe). Der Button "Ja" für "Tiefenwertdatei abspeichern" sollte nur dann aktiviert sein, wenn Sie die Bilder für den Bildschirm anschließend noch überarbeiten wollen. Für eine Zoomenfolge kann man zur Verein- fachung vom Programm automatisch übernehmen lassen, wobei die in den entsprechenden Dialogen eingestellten Parameter verwendet werden. (siehe Bildbearbeitung). Nach dem Start der Parameter-Bearbeitung werden nun nacheinander die Bildparameter geladen und daraus Bilder iteriert. Ein Abbruch per Escape ist möglich, wobei das Programm danach fragt, ob nur die Berechnung des aktuellen Bildes abgebrochen werden soll oder die Parameter-Bearbeitung als Ganzes. ############# KAPITEL 3 ############# Bildbearbeitung Grundlage der nun zu erläuternden Bildbearbeitung sind die bereits öfter erwähnten Tiefenwertfelder, die von jedem Bild angelegt werden - sofern es sich um ein Bild der Iterationstypen "Mandelbrot", "Juliamange", "Bio- morph", "Newton-Attraktor" und "Hüpfer" handelt, das Bild zu Ende berech- net wurde und man das Anlegen des Tiefenwertfeldes unter "Einstellungen" nicht abgeschaltet hat. Die Tiefenwertfelder stellen im Grunde nichts anderes als große Zahlenfel- der dar, deren Werte sich im Bereich von 1 bis zur maximalen Rechentiefe bewegen. Durch eine sehr effektive Kompression sind diese Daten manchmal auf 10% der ungepackten Größe reduziert (z.B. bei den Grundfiguren), da die Kompressionsrate bei komplexeren Bildern schlechter wird, liegt sie in den meisten Fällen bei etwa 1/3. Das Abspeichern der Tiefenwerte von interessanten Bildern hat den Vorteil, daß man ein z.B. in schwarz-weiß erstelltes Bild problemlos farbig nachbe- arbeiten kann, was bei den reinen Bilddaten allein nicht möglich ist. Welche Möglichkeiten gibt es, ein Bild zu überarbeiten? - Für den Monochrom-Monitor bietet sich die Überarbeitung in Graustufen an. Da diese Anleitung ja leider nur zweifarbig vorliegt, wird diese Option am ausführlichsten besprochen. - Stehen lediglich 16 Farben zur Verfügung, sollte auf jedem Fall eine Farb-Überarbeitung erfolgen. Diese funktioniert im Prinzip wie die in Graustufen, ist jedoch nicht mit ihr identisch! - Neben der flächigen Darstellung von Bildern können diese auch dreidimen- sional projiziert werden, wobei die Darstellung farbig oder in Graustufen erfolgen kann. - Außer den Tiefenwerten selbst wird während der Iteration auch die Häufig- keit jedes Tiefenwerts abgespeichert. Diese Zahlen können mit der Stati- stik-Funktion als Blockdiagramm angezeigt werden und leisten eine große Hilfe bei der Überarbeitung von Bildern. Die nachfolgenden Ausführungen demonstrieren wir anhand eines Beispiel- Bildes namens "TESTBILD.FRK", das sich im Ordner "BEISPIEL" zusammen mit der dazugehörenden Tiefenwert-Datei befindet. Dieses Bild sollte nun gela- den werden; das Nachladen der Tiefenwerte erfolgt auf Nachfrage. In dem anfämglich ziemlich chaotisch aussehemdem Pixel-Gewusel des ur- sprünglich schwarz-weißen Bildes verstecken sich hochinteressante Struktu- ren, die nun herausgearbeitet werden können. Der Dialog "Graustufen-Umsetzung" ermöglicht folgende Eintellmöglichkeiten: Im oberen Teil gibt es diverse Möglichkeiten, die Zuordnung von Graustufen zu den Tiefenwerten explizit zu beeinflussen. - der Typ der verwendeten Graustufe (interne Graustufentypen sind "Muster" und "Halbton" sowie externe Graustufen, sofern diese geladen wurden). - die Anzahl der Graustufen, die für die Darstellung verwendet werden sollen. Werden nicht alle möglichen Graustufen verwendet, so werden die verwendeten Raster gleichmäßig aus dem möglichen Vorrat ausgewählt. - die Nummer der ersten Graustufe, also derjenigen, die für den kleinsten vorhandenen Tiefenwert benutzt wird; - die Nummer der Farbe, in der die Graustufen gezeichnet werden sollen (im S/W-Modus immer "1", also schwarz, daher nicht editierbar!); - die Anzahl der nacheinander folgenden Tiefenwerte, die mit einer Grau- stufe gezeichnet werden. Damit läßt sich das periodische Verhalten einer Funktion strecken oder stauchen. - die Mindestzahl von vorhandenen Tiefenwerten (aus der Statistik) gibt an, die Graustufe nur dann zu ändern, wenn diese Zahl von der tatsächlichen Zahl vorhandener Tiefenwerte erreicht oder überschritten wird. - die Aufhellung ist ein Wert, der von allen Funktionswerten subtrahiert wird, so daß sich das Bild global aufhellen oder verdunkeln läßt (letzte- res mit negativen Zahlen!). Damit wird die gesamte Funktion nach oben oder unten verschoben. - mit dem Zuordnungsfunktions-Pop-Up läßt sich definieren, in welcher Weise Graustufen Tiefenwerten zugeordnet werden: Sägezahn, Dreieck, Sinus oder Wurzelfunktion. - mit dem Bereich-Pop-Up kann eingestellt werden, ob die zuvor eingestell- ten Parameter global oder nur für einen bestimmten Tiefenwertbereich de- finiert werden sollen. Außerdem kann die Übernahme der Parameter unter- drückt werden, um das Bild mit einer nachzuladenden Farbtabellen-Datei zu überarbeiten. Zunächst können Sie einmal einige einfache Graustufen-Bilder erzeugen, um die Auswirkung der Parameter kennenzulernen. 1. Beispiel: "Sägezahn"-Funktion mit 63 Graustufen, Musterwechsel = 1 und Mindestzahl vorhandener Tiefenwerte = 1; 2. Beispiel: "Dreieck"-Funktion mit 20 Graustufen, Musterwechsel = 2 und Mindestzahl = 20; 3. Beispiel: "Sinus"-Funktion mit 63 Graustufen mit Nr. 4 als erste Grau- stufe, Musterwechse = 1 und Mindestzahl = 50; 4. Beispiel: "Wurzel"-Funktion mit 16 Graustufen mit Nr. 20 als erste, so- wie Musterwechsel = 1 und Mindestzahl = 20. Wenn Sie diese Graustufen-Parameter (oder auch andere!) ausprobieren wol- len, schalten Sie bitte das Popup "Parameter übernehmen" auf "Ja: gesamt", da die eingestellten Parameter andernfalls nicht übernommen werden! Das Bild wird nach Druck auf den Button "Bildschirm-Ausgabe" neu gezeichnet. Die Ausgabe läßt sich mit der Escape-Taste jederzeit abbrechen. Einige Erfahrungswerte für die Graustufenbearbeitung: - bei sehr geringer Rechentiefe (z.B. den Grundfiguren) sollte man die Anzahl der verwendeten Graustufen stark einschränken! - der Bildkontrast (also der Helligkeitsunterschied zwischen den einzelnen Tiefenwerten ist mit der "Dreieck"-Funktion am geringsten, mit der "Sinus"-Funktion am höchsten. Die "Wurzel"-Funktion dunkelt Bilder sehr stark ein. Viele Bilder wirken mit der "Sinus"-Funktion am "natürlich- sten", aber das ist natürlich Geschmackssache. - Je "wuseliger" das Bild ist, desto mehr Graustufen sollten verwendet werden. Reicht dies noch nicht aus, muß man Tiefenwerte zusammenfassen, indem man den Musterwechsel-Wert vergrößert. Die anderen Knöpfe im Graustufen Dialog haben folgende Bedeutung: - Mit "Farbtabelle speichern" können besonders gelungene Graustufen-Funk- tionstabelle abspeichert und z.B. für ein anderes Bild verwendet werden ("Farbtabelle laden"). Eine derartige Farbtabelle ist im "Beispiel"- Ordner als "TESTBILD.FT" abgespeichert. - Neben der Bildschirm-Ausgabe ist auch eine "GDOS-Ausgabe" möglich, sofern Sie auf Ihrem Rechner GDOS installiert wurde. Hier erfolgt ein Ausdruck des Graustufen-Bildes auf dem angeschlossenen Drucker. Näheres dazu steht im Kapitel "Bilder drucken". - Rufen Sie die Graustufen-Umsetzung für das gleiche Bild ein zweites Mal auf, ist auch der Button "Graustufen zeigen ..." anwählbar. Betätigen Sie diesen Knopf, wird im Bild die Rechentiefe an der Position des Faden- kreuzes und die zugehörige Graustufe in einem Kästchen am oberen Bild- schirmrand angezeigt. Von dieser Ebene erreicht man ein weiteres Menü, nämlich die manuelle Farbzuordnung, indem die "Help"- oder die linke Maustaste betätigt wird: In der Eingabe-Zeile "von ... bis " läßt sich ein Tiefenwertbereich defi- nieren, der mit der angezeigten Graustufe im Kästchen gefüllt werden soll. Bei Druck auf "Zeichnen" wird diese Eingabe sofort ausgeführt. Möchten Sie mehrere Bereiche hintereinander definieren, ohne jedesmal das Bild neu zeichnen zu lassen, benutzen Sie den "Setzen"-Button: Damit wird die Graustufen-Tabelle mit der Farbnummer über den gesetzten Tiefenwert- bereich lediglich initialisiert ohne das Bild neu zu zeichnen. Mit "Undo" kann die letzte Einstellung jeweils rückgängig gemacht werden. Für die Auswahl der jeweils zu benutzenden Graustufe gibt es zwei Möglichkeiten: Einmal kann über die Pfeil-Tasten "links" und "rechts" die angezeigte Graustufe mit darüberstehender Nummer geändert werden. Zum zweiten er- halten Sie eine Übersicht aller vorhandenen Graustufen, wenn Sie den Button "Palette zeigen" anklicken und hier mit der "zeigenden Hand" als Mauscursor eine Graustufe auswählen. Mit dem "Fertig"-Knopf verlassen Sie diesen Dialog und gelangen in die Graustufen-Anzeige zurück, die für die manuelle Einstellung übrigens sehr hilfreich sein kann. Am sinnvollsten ist diese Option, um ein Bild so zu verbessern, imdem man z.B. bestimmte Strukturen herausarbeitet (z.B. auf "schwarz" setzt) oder weniger interessante Bildbereiche in eine Graustufe zusammenfaßt. Mit "weiß" lassen sich Tiefenwertbereiche gezielt löschen, z.B. die Bild- außenbereiche. Die Beispiel-Farbtabelle wurde so manuell überarbeitet. Alle bisher gemachten Ausführungen gelten insbesondere für den Monochrom- betrieb des Programms. Aber auch mit nur 16 Farben wird man ohne die Mög- lichkeit der nachträglichen Veränderung der Bildfarben schnell auf ziemlich komplexe Bildstrukturen stoßen, die oft in einem bunten Gewimmel unterzu- gehen drohen! Der Dialog "Farbbearbeitung" erlaubt folgende Parameter zur Farbzuordnung: - die "Anzahl der Farben", die sich aber erst im 16-Farben-Betrieb verän- dern läßt. Dabei müssen mindestens 4 Farben verwendet werden. - bei den Zuordnungsfunktionen im S/W-Betrieb sind nur die "Sägezahn"- Funktion (also schwarz-weiß im stetigen Wechsel) sowie "nur Tiefemax" möglich. Mit dieser Einstellung wird ausschließlich die eigentliche Mandelbrotmenge dargestellt. Damit können Sie im einem Fraktal "Mini- Apfelmännchen" für weitere Vergrößerungen aufspüren. Die meisten Funktionen dieses Dialogs gelten analog zur Graustufen-Über- arbeitung. So erhält man z.B. nach Betätigen des Buttons "Farben anzeigen" ein Menü, von dem aus die manuelle Farbzuordnung erreichbar ist, deren Funktion exakt der der manuellen Graustufen-Überarbeitung entspricht. Ein Unterschied besteht in der Art der abgespeicherten Farbtabellen: Graustufentabellen lassen sich nicht als Farbtabellen laden und umgekehrt. Der Grund liegt darin, daß die Tabellen Werte enthalten könnten, die sich nicht als Farbnummern oder Graustufen interpretieren ließen. Da beide Da- teien jedoch die gleiche Extension haben (".FT"), sollte man - sofern es zu Verwechselungen kommen kann - die Unterscheidung im Dateinamen vermer- ken! Nun zum "Verteilungsdiagramm", das die aktuellen Tiefenwerte als Statistik anzeigt: Mit dem waagerechten Scrollschieber läßt sich der gesamte Tiefenwertbereich durchscrollen - bei unserem Testbild also von 1 bis 1000. Befindet sich der Mauscursor innerhalb des Verteilungsdiagramms, zeigt das Programm die zum jeweiligen Balken gehörende Anzahl der Tiefenwerte an. Unterhalb des Balkendiagramms wird die dem Tiefenwert zugeordnete Graustufe (bzw. Farbe bei Farbbildern) angezeigt. Weitere Einzelheiten stehen im Handbuch! Erläuterungen zur dreidimensionalen Ausgabe: Als Beispiel reicht hierfür die bekannte Grundfigur der Formel "z^2 + c". Nachdem dieses Bild berechnet wurde, sollte im S/W-Modus zunächst die Graustufen-Ausgabe aufgerufen werden, um das Bild mit ca. 5 bis 15 Rastern auf dem Bildschirm neu darzustellen. (Im Farbbetrieb ist dieser Zwischen- schritt unnötig.) Der Grund hierfür: die dreidimensionale Ausgabe benutzt für Graustufenbilder wahlweise die im Graustufen-Dialog definierten Farb- tabellen. Nun kann die "3D-Projektion" [Alternate D] aufgerufen werden. Der Dialog ist in zwei große Felder untergliedert. Das obere Feld enthält alle Ein- stellungen, die die dreidimensionale Projektion des Bildes beeinflussen. Alle vorgenommenen Eingaben wie Dreh- oder Neigungswinkel, Bildgröße oder Überhöhung werden sofort im Projektionsfenster links oben angezeigt. Der Umriß dieses Fensters entspricht etwa der Größe des benutzbaren Bildschirm- bereichs. Das untere Feld erlaubt Eingaben, die das weitere Aussehen des Bildes bestimmen. Die Möglichkeiten zur Veränderung der Projektion sind: - der Drehwinkel, der den Winkel um die "senkrechte" Achse bestimmt. Er läßt sich zwischen -70 und +70 Grad einstellen. - der Neigungswinkel definiert den Winkel um die "horizontale" Achse. Dieser Bereich liegt zwischen 0 und 90 Grad, wobei 90 Grad einer direkten Aufsicht entspricht. - die projizierte Bildgröße ist auf die Größe des zweidimensionalen Bildes zugeschnitten. Die Vergrößerung erfolgt so, daß in der Prokektion keine Löcher entstehen. - die Überhöhung beschreibt zum einem, wie stark die Tiefenwerte in "Bild- ausschläge" umgesetzt werden sollen. Zum anderen bestimmt das Vorzeichen die Richtung der Projektion: Das negative Vorzeichen bedeutet, daß die maximale Tiefe als "See" dargestellt wird - bei positiven Werten wird ein "Gebirge" projiziert. Der gestrichelte Umriß im Projektionsfenster zeigt die maximale Rechentiefe an. - die Perspektive gibt die Art der Projektion an. Die Zentralperspektive wirkt plastischer, ist allerdings auch rechenaufwendiger als die Paral- lelperspektive, außerdem verursacht sie typische Moiré-Muster, die aber durchaus ihren Reiz haben. Im unteren Teil des Dialogs kann zunächst der Farbmodus angegeben werden: - im Modus "S/W" wird jeder iterierte Bildpunkt außer maximaler Tiefe als schwarzes Pixel, die maximale Rechentiefe in einem grauen Raster darge- stellt. - im Modus "Graustufen" werden die in der Graustufen-Umsetzung vorgenom- menen Einstellungen übernommen. Wurde keine Graustufen-Tabelle initiali- siert, ist dieser Button nicht anwählbar. - im Farbbetrieb können Bilder auch in Farbe projiziert werden. Ein beson- ders gelungenes Bild mit 256 Farben liegt auf der Bilder-Diskette als "SPIRAL3D.FRK" vor. Der Farbmodus berücksichtigt die in der "Farbein- stellung" vorgenommenen Parameter der Farbzuordnung. - Mit der "Glättungsfunktion" kann die bei vielen Bildern sehr starke Streuung der Bildhöhe vermindert werden. Mit der zuschaltbaren Glättung wird die Bildhöhe so modifiziert, daß bei der Bildung der neuen Bildhöhe die Höhe des vorhergehenden Bildpunkts durch den einstellbaren Glättungs- faktor prozentual berücksichtigt wird. Bei "1" wird das Bild völlig ein- geebnet, bei "0" ist der Glättungsfaktor ohne Wirkung. Mit den beiden unteren Stellgliedern kann man die Farbe bzw. Graustufe des Bildhintergrundes definieren. Im Farbbetrieb läßt sich aus der Farbpalette eine Hintergrundfarbe definieren. Diese kann zusätzlich durch Wahl eines Rasters "aufgehellt" werden. Da Farbbilder oft durch einen schwarzen Hintergrund besonders eindrucksvoll wirken, ist diese Farbe voreinge- stellt. Im S/W-Modus wird das Bild einfach mit der eingestellten Graustufe hinterlegt. ############# KAPITEL 4 ############# Farbeinstellung In diesem Kapitel gibt es vor allem um die optimale Einstellung der Farb- palette, aber auch ein bißchen Farbenlehre wird zu vermitteln sein! Das Betriebssystem des Atari gibt uns die Möglichkeit, die Farbe eines Bild- punktes zu definieren und nachträglich zu verändern. Die nachträgliche Änderung der Farbpalette ist im Echtfarben-Betrieb (mehr als 256 Farben) leider nicht möglich der Aufruf des Farbeinstell-Menüs bringt hier gar nichts! Wenn wir also z.B. die Farbe Nr. 11 verwenden wollen, wird der Rechner in das Farbregister dieser Farbe schauen, um die Farbe aus Anteilen der Grund- farben zusammensetzen. Diese Grundfarben sind rot, grün und blau, aus denen alle anderen Farben gemischt werden können. Das verwendete Farbmodell ist uns von unserem Farbfernseher wohlbekannt es wird RGB-Modell genannt. Die Farbzusammensetzung erfolgt durch additive Farbmischung, wie sie durch die Überlagerung verschiedenfarbiger Lichtstrahlen erzielt wird. Gelb ist dabei eine Mischung aus Rot und Grün, Violett eine Mischung aus Grün und Blau und Purpur eine Mischung aus Rot und Blau. Weiß entsteht durch die Überlagerung aller Grundfarben. Schwarz ist dagegen das "Nicht- vorhandensein" aller Farben! Die verschiedenen Farbintensitäten entstehen durch unterschiedliche Helligkeiten. Der Betriebssystemteil "VDI" unseres Computers definiert eine beliebige Farbe aus 3 Intensitätswerten dieser 3 Grundfarben, wobei die Intensitäten in "Promille" - einem Wert zwischen 0 und 1000 - angegeben werden. Aus der Kombination dieser Zahlen wären 1000^3 = 1 Milliarde Farbnuancen möglich. Dies ist allerdings ein Wert, der das Farbvermögen des Auges um ein Viel- faches übertrifft! Moderne "TRUE-COLOR"-Grafikkarten erreichen heute eine Farbtiefe von 24 Bit, mit denen 16,8 Millionen (256^3) Farbnuancen möglich sind. Der Atari STE bringt es immerhin auf 4096 Farben - pro Grundfarbe sind 16 unterschiedliche Intensitäten möglich. (Leider können von dieser Palette nur 16 Farben gleichzeitig dargestellt werden.) Da die voreingestellte Farbpalette des Rechners für fraktale Grafiken meist völlig ungeeignet ist, gibt es in FRACTALS umfangreiche Möglichkeiten, Farbpaletten nach eigenem Geschmack zu laden, zu verändern und abzuspei- chern. Im FRACTALS-V-Verzeichnis kann eine Default-Farbpalette namens "FRACTALS.PAL" vorgegeben werden, die beim Start automatisch geladen wird. Paletten-Dateien bestehen aus Zahlenkolonnen, die den VDI-Farbnuancen entsprechen, also stets drei Zahlwerte zwischen 0 und 1000 für ein Palet- tenwert. Die Anzahl definierter Farben ergibt sich aus der Dateilänge: 16-Farbe-Paletten haben eine Länge von 96 Byte, 256-Farben-Paletten eine Länge von 1536 Byte. Im Dialog "globale Einstellungen" gibt es 2 Schalter, die die Farbdarstel- lung beeinflussen: 1. Verwendung der ersten 16 Farben: Im 256-Farben-Betrieb sollte man diesen Schalter auf "nein" setzen, wenn sich die Farben, die das Betriebssystem verwendet, nicht verändern sollen. Damit verringert sich natürlich die Anzahl möglicher Farbabstufungen für Farbbilder. 2. "Farbpalette anhängen": Hiermit wird nicht nur eingestellt, ob beim Abspeichern von Bildern die aktuelle Palette mit gespeichert wird, es werden außerdem "lokale" Farbpaletten zu jedem Bildspeicher verwaltet, so daß man ein und dasselbe Bild auch mit verschiedenen Paletten im Speicher halten kann. Der Aufruf des Menüs "Farbeinstellung" erfolgt im Farbbetrieb im Drop-Down- Menü "Diverses". Im S/W-Modus läßt sich hier nur das Bild invertieren (Ver- tauschen von "schwarz" und "weiß"). Im oberen Bereich des Dialoges können zunächst unterschiedliche "Arbeits- modi" eingestellt werden. Das linke Pop-Up-Menü erlaubt die Einstellung jeder einzelnen Farbe, die globale Einstellung der R-, G- und B-Anteile aller Farben gemeinsam oder eines Farbbereichs sowie die Berechnung einer sinusförmigen Farbverteilung. Im rechten Pop-Up-Menü kann zwischen der Farbpalettenanzeige und einer Hi- stogrammanzeige umgeschaltet werden, bei der die Farbanteile aller Farben als Kurven (oder Treppen) angezeigt werden. Im Arbeitsmodus "Einzelfarben einstellen " läßt sich die aktuelle Farbe, deren Farbanteile durch die Scrollschieber "rot", "grün" und "blau" ange- zeigt werden, durch den Schieber "Farbe" oder durch Maustastendruck im Farbfeld auswählen. Die ersten beiden Farben lassen sich allerdings nicht verändern, damit die Lesbarkeit des Monitors nicht beeinträchtigt wird. Im 256-Farben-Betrieb lassen sich die ersten 16 Farben nur ändern, wenn man dies im "Einstell-Dialog" (s.o.) aktiviert hat. Die Farben "F1" und "F2" werden dazu benutzt, einen Farbbereich zu definie- ren. F1 kann mit einem Mausklick auf das Farbfeld zusammen mit der linken Shift-Taste, F2 mit der Control-Taste gesetzt werden. Die Farbnummern las- sen sich unterhalb des Farbfeldes auch als Zahl eingeben. In diesem Bereich werden die Farben rotiert, wenn man den entsprechenden Knopf drückt, d.h. die Farbwerte werden zyklisch nach links (mit Shift) oder rechts verschoben. Der Bereich dient außerdem dazu, einen "Farbver- lauf" zwischen F1 und F2 zu definieren. Mit dieser Funktion werden harmoni- sche Farbübergänge erzeugt, mit denen wir die meisten der beigelegten Pa- letten erzeugt haben. Die "Grenzfarben" werden durch den Farbverlauf nicht verändert. Die dritte Funktion, die den Farbbereich berücksichtigt, ist die Inver- tierung eines Farbbereichs. Beim Invertieren werden die komplementären Farben berechnet - die Histogramm-Anzeige veranschaulicht dies am besten. Im Arbeitsmodus "Farben global einstellen gesamt/Bereich" werden die RGB- Schieber zunächst in Mittelposition gebracht. Mit diesen Schiebern werden die Farbanteile nun gemeinsam angehoben oder abgesenkt, aber immer nur bis zu den maximal möglichen Werten "0" bzw. "1000". Ein zu starkes Verändern führt also zum Abflachen des Farbverlaufs, siehe Histogramm! Mit den hori- zontalen Pfeiltasten unterhalb der Schieber kann man die RGB-Anteile nach links oder rechts rotieren lassen, was einer Phasenverschiebung entspricht. Beim Arbeitsmodus "Berechnung eines sinusförmigen Farbverlaufs" könnten noch Unmengen von Paramtern (Frequenz, Phasenlage und Amplitude der Sinus- schwingungen) eingestellt werden, was aber z.Zt. noch nicht möglich ist. Nachdem diese Funktionen aufgerufen wurde, sollten Sie das Pop-Up wieder auf eine der anderen Funktionen umschalten. Mit "Laden" und "Speichern" wird eine der schon erwähnten Farbpaletten ge- laden bzw. die aktuelle Palette gespeichert. Eine Auswahl dieser Paletten zum Ausprobieren steht Ihnen im "PALETTEN"-Ordner zur Verfügung. Sollte die zu ladende Palette nicht der aktuellen Auflösung entsprechen, gibt es die Möglichkeit, die Palette automatisch an die aktuelle Auflösung anpassen zu lassen. Besser ist natürlich die Verwendung der speziell an die Auflösung angepaßten Paletten. Haben Sie im "Einstell-Dialog" die Verwendung lokaler Farbpaletten akti- viert (s.o), lassen sich die Paletten der belegten Bildspeicher über Pop- Up-Menüs aufrufen, bearbeiten und anderen Bildspeichern zuordnen, die aber belegt sein müssen. Der Undo-Button stellt die Palette wieder so dar, wie sie beim Aufruf des Dialogs vorlag. Neben der menügesteurten Einstellmöglichkeit der Palette gibt es zusätz- lich ein Tastatur-Menü, das sich über die Tabulator-Taste aufrufen läßt. Die Tastaturkommandos können einem integrierten Hilfsmenü entnommen werden. ############# KAPITEL 5 ############# Bilder drucken In diesem Kapitel geht es um die vielen Möglichkeiten, mit denen Sie die mit FRACTALS erstellten Bilder auf Ihrem Drucker ausdrucken können. Dazu stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung: 1. Ausdruck des Bildes im aktuellen Bildspeicher (Fensterinhalt) - im fol- genden "Hardcopy" genannt. 2. Direkter Ausdruck ohne Bildschirmausgabe in maximaler Drucker-Auflösung, das sogenannte "Superformat", neuerdings auch in Farbe. 3. Unterstützung von GDOS-Ausdruck, um auch Drucker verwenden zu können, die vom Programm nicht direkt unterstützt werden (z.B. Atari-Laser). Vor dem Ausdruck muß das Programm jedoch wissen, welchen Drucker Sie ange- schlossen haben. Hierzu dient die Drucker-Installation, die Sie im Menü "Diverses" aufrufen: Normalerweise muß hier nur der Typ des verwendeten Druckers ausgewählt wer- den. Es werden folgende Druckertypen unterstützt: 1. 8- bzw. 9-Nadler, sofern sie EPSON-kompatibel sind; 2. 24-Nadler in der NEC P6-Emulation. Hierzu gehören auch (leider) CANON- BubbleJets, die mit ihren 64 Tintedüsen kaum ausgereizt werden. 3. HP-Laser kompatible Drucker, also praktisch sämtliche Laser-Drucker, die an den Parallel-Port angeschlossen werden sowie die nicht farbfähi- gen Tintenstrahl-Drucker der DeskJet-Familie. (Mindestanforderung: Druckersprache PCL Level III) 4. Die farbfähigen HP-DeskJet-Mitglieder (z.B. DeskJet 500C und 550C) mit maximal 300 DpI Auflösung. 5. Der DJ 850C und ähnliche mit max. 600 DpI Auflösung im S/W-Druck. Bei diesen müssen jedoch die Steuercodes angepaßt werden (s.u.). 6. Thermo-Sublimations-Seitendrucker von Siemens. Haben Sie Ihren Drucker ausgewählt, sollten Sie dies sogleich mit "Einstel- lung speichern" sichern. Die Druckdaten werden nun in eine Datei namens "DRUCKER.INF" gespeichert, die bei jedem Programmstart neu geladen wird. Soll der Druckertyp "DJ 850C" verwendet werden, muß vor dem Programmstart die Druckerdatei "DJ 850C.INF" in "DRUCKER.INF" umbenannt werden. Die Steuerbefehle im unteren Teil des Drucker-Einstell-Dialogs sollten Sie nur ändern, wenn Sie sich absolut sicher sind! Im Anhang des Handbuch werden die meisten Codes genauer erklärt. Mit der nun hoffentlich korrekten Einstellung können Sie gleich einmal die Hardcopy-Funktion ausprobieren. Diese läßt sich aufrufen, sobald ein Bild fertig berechnet oder geladen wurde. In der Titelzeile des Hardcopy-Dialogs wird der ausgewählte Druckertyp ein- getragen. Im "Ausgabe"-Feld können Sie entscheiden, ob Ihre Hardcopy direkt auf dem Drucker ausgegeben oder in ein Drucker-File mit der Endung "PRN" gespeichert werden soll, die man später auch vom Desktop ausdrucken kann. Je nach verwendetem Druckertyp erfolgt der Ausdruck in 2 verschiedenen Bildgrößen ("Drucker-Auflösung") und - außer beim 24-Nadler - in 2 ver- schiedenen Druckdichten ("Druck-Qualität"). Folgende Tabelle gibt Auskunft darüber, welche maximalen Bildgrößen beim Ausdruck auf einem DIN A4-großen Blatt möglich sind (in Klammern steht die jeweils verwendete Auflösung): Drucker-Typ (Breite * Höhe) Auflösung 9-Nadler 24-Nadler HP-Laser "niedrig" 960 * 640 (80 DpI) 990 * 720 (90 DpI) 1100 * 800 (100 DpI) "hoch" 1440 * 960 (120 DpI) 1980 * 1440 (180 DpI) 1650 * 1200 (150 DpI) Um die Seite besser auszunutzen (die meisten Bilder sind breiter als hoch), wird im Querformat gedruckt. Die Ausgabe von farbigen Hardcopies ist nur im Farbbetrieb möglich. Schaltet man auf "Farbe" um, kann mit dem Knopf "Farbanpassung" die Ausdruck-Qualität eingestellt werden. Die Intensität jeder Grundfarbe, dies sind beim Farbdruck in der Regel die Farben Zyan, Magenta und Gelb (CMY- Palette) wird durch ein Raster angenähert, wie es auch bei der Graustufen- Ausgabe Verwendung findet. Durch Übereinanderdrucken dieser Grundfarben in verschiedenen Rastern können so (theoretisch) über 250000 Farbtöne erzeugt werden (Verwendung der internen Raster). Besonders feine Raster erhalten Sie, wenn die höchstmögliche Auflösung verwendet wird ("300 DpI-Raster" einstellen!). Allerdings dauert dann der Ausdruck erheblich länger, weil das Bild intern vergrößert werden muß, um der eingestellten Auflösung "niedrig" oder "hoch" zu entsprechen. Besitzen Sie keinen Farbdrucker, werden die Farben in angenäherte Grau- stufen umgesetzt. Die Umrechnung von Farben in Graustufen kann durch die "Farbanpassung" im Hardcopy-Dialog für jede Farbe getrennt oder für alle Farben durch anteilige Veränderung der Grundfarben eingestellt werden: Die "Wichtung der Farbanteile" sollte die physiologische Farb-Empfindlich- keit berücksichtigen; Blau-Anteile sind also voreingestellt mit 11% am geringsten vertreten. Eine Erhöhung des Blauanteils führt zu dunkleren Bildern! Die Summe aller Grundfarben-Anteile muß natürlich 100% ergeben. Die Qualität der nun durch die Hardcopy-Routine erzeugten Graustufen-Bilder hängt übrigens auch von der verwendeten Farb-Palette ab. Möchten Sie Bilder unabhängig von der Bildschirmauflösung (und sogar unab- hängig von der Anzahl der Farben Ihres Monitors) berechnen, sollten Sie die "Superformat"-Option in FRACTALS ausprobieren. Hiermit werden Bilder so berechnet, daß sie direkt auf dem Drucker ausgegeben werden können; es ist aber auch möglich, Bilder in einer Standard-Bilddatei (IMG oder TIFF) aus- zugeben. Durch die Verwendung der hohen Druckerauflösung muß natürlich eine Bild- größe eingeben werden, die die des Bildschirm deutlich übersteigt, will man sich nicht mit briefmarkengroßen Bildern zufriedengeben. Folgende Tabelle zeigt die maximal mögliche Bildgröße je nach Druckertyp (DIN-A4-Format): Drucker-Typ (Breite * Höhe), Auflösung in DpI 9-Nadler 24-Nadler HP-Laser DJ 850C (S/W) max. Größe 1920 * 1400 1440 * 1800 2400 * 3000 4800 * 6000 Auflösung 240 * 144 180 * 180 300 * 300 600 * 600 Achtung: jede Verdoppelung der Bildgröße die vervierfacht die Rechenzeit! Den Superformat-Modus aktivieren Sie, indem Sie unter "Diverses" im Dialog "Einstelllungen" von der "Bildschirm-" auf die "Drucker- oder Datei-Itera- tion" umstellen. Damit ändert sich die Funktion der Dialoge "Zoomen" und "explizite Werte", während die Berechnung einer Grundfigur nach wie vor auf dem Bildschirm erfolgt. Die Flächen-Interpolation sowie das Preview-Ver- fahren ist im Superformat-Modus nicht möglich, außerdem können Sie keine Bilder der Iterationstypen "Hüpfer", "IFS" und "L-Systeme" direkt für den Drucker erstellen (bei letzteren ist aber die GDOS-Ausgabe möglich!) Bevor der Ausdruck gestartet wird, erscheint der "Superformat"-Ausgabe- Dialog. Zunächst gibt es die vom Hardcopy-Dialog bekannte Möglichkeit, Druckerdaten in ein File umzuleiten. Dies ist besonders bei längeren Be- rechnungen zu empfehlen, um das "Leerlaufen" des Druckers zu vermeiden. Bei HP-Druckern können die Druckdaten komprimiert werden, so daß sich der Bildausdruck teilweise erheblich beschleunigen kann, da sich die Datenmen- ge verringert, die an den Drucker geschickt werden muß. Im unteren Feld des Dialogs wird die Darstellung der Superformat-Bilder eingestellt. Die Ausgabe kann bei nicht farbfähigen Druckern und für das IMG-Dateiformat in S/W oder in Graustufen erfolgen. Farbfähige Drucker sowie das TIFF-Format produizeren Bilder in 16 oder 256 Farben. Hierzu muß jedoch eine passende Farbpalette geladen werden, sofern sich die Farbauf- lösung des Bildschirms von der eingestellten Auflösung unterscheidet. Um Enttäuschungen zu vermeiden, sollte man sich das Aussehen des Bildes genau überlegen, denn eine spätere Überarbeitung (wie bei der Bildschirm- Darstellung) ist ja nicht möglich. Daher ist es (zumindest für die Drucker- Iteration) empfehlenswert, das Bild zunächst auf dem Bildschirm zu berech- nen und zu überarbeiten. Graustufen bei der Bildausgabe können übrigens nur angewählt werden, wenn vorher ein Bild in Graustufen überarbeitet wur- de - es muß also eine Graustufentabelle definiert worden sein oder eine Graustufentabelle als "Farbtabelle" geladen werden. Während der Superformat-Ausgabe zeigt Ihnen der Rechner in einem nicht- modalen Fenster an, wie weit seine Berechnungen vorangeschritten sind. Unter Multitasking kann FRACTALS jetzt verlassen werden. Ein Abbruch ist per [ESC]-Taste natürlich möglich - allerdings wird immer erst eine Kolon- ne von Zeilen zu Ende berechnet (bei der TIFF- und IMG-Ausgabe 8, beim 8-Nadler 16, sonst immer 24 Zeilen) und ausgegeben. Die Fortsetzung einer abgebrochenen Superformat-Iteration ist aber nicht möglich, daher erfolgt auch vorher eine Sicherheitsabfrage. Haben Sie das Bild als Drucker-File abgespeichert, kann am Ende der Berech- nung das PRN-File von FRACTALS geladen und ausgedruckt werden. Die Bild- parameter werden ähnlich wie beim "Bild-Info"-Dialog in einer INF-Datei abgespeichert. Nun soll noch etwas genauer auf die Ausdruckmöglichkeiten mit installiertem "GDOS" eingegangen werden. Der Platz reicht hier leider nicht, um Ihnen die doch recht komplizierte Installation von GDOS zu erläutern. Wir empfehlen NVDI 3.x, das Ihnen hier viel Arbeit abnimmt und eine Vielzahl von Drucker- treibern mitliefert. Bei vorhandenem GDOS, sind in den Dialogen "Graustufen-Umsetzung" und "Farbbearbeitung" die Knöpfe "GDOS-Ausgabe" anwählbar. In den Dialogen zur Berechnung von "IFS" und "L-Systemen" ist nun im Ausgabe-Pop-Up "GDOS" an- wählbar. Vor der Bildausgabe aus den ersten beiden Dialogen kann im GDOS- Einstell-Dialog die Nummer des Druckertreibers angegeben werden - normaler- weise ist dies die Nummer 21. Bei der "Bildgröße" für Farben- oder Graustufen-Ausgabe ist zu beachten, daß GDOS stets in der maximal möglichen Auflösung des Druckers arbeitet. Bei einer 1:1-Ausgabe eines Bildes kann dieses also auf Briefmarkengröße schrumpfen! Andererseits müssen Sie selber ausprobieren, ob Bilder im Maßstab 5:1 noch in Gänze ausgedruckt werden können. Außerdem wird mit zunehmend Vergrößerung die Bildstruktur natürlich immer gröber! Voraussetzung für einen erfolgreichen GDOS-Ausdruck ist reichlich Speicher und Geduld! Wollen Sie Ihren Atari-Laser füttern, muß vorher im Dialog "freier Speicher" etwa 1.5 MByte Systemspeicher reserviert werden. Weiter- hin wird - während sich das Bild aufbaut - vom Druckertreiber eine Tempo- rärdatei angelegt, die vor allem beim Graustufenausdruck mehrere Megabytes umfassen kann. Ohne Harddisk sind solche Bilder also praktisch nicht reali- sierbar! ############# KAPITEL 6 ############# Optionen 1. Im Dialog "Einstellungen" (Menü Diverses) werden globale Parameter ge- setzt, mit denen man sich eine weitgehend "persönliche" Arbeitsumgebung schaffen kann. Die meisten dieser Parameter werden in "FRACTALS.INF" ab- gespeichert und stehen somit bei jedem neuen Programmstart wieder zur Verfügung. - Ausgabetyp: Bildschirm normal: voreingestellter Ausgabetyp; alle Bildberechnungen werden für die Bildschirm-Auflösung ausgeführt. Bilder können nur so groß definiert werden, wie dies die Auflösung vorgibt. Bildschirm ohne Ausgabe: Die Grafikausgabe wird bei der Iteration un- terdrückt; erst nach der Iteration wird das Bild anhand der Tiefenwert- tabelle gezeichnet. Empfehlenswert unter Multitasking-Umgebung. Drucker (Superformat): Direkte Berechnung eines Bildes für den einge- stellten Drucker (s. vorheriges Kapitel). Datei (IMG/TIFF): Berechnung eines Bildes in S/W oder Farbe bis zu ei- ner Bildgröße von 5000 * 5000 Pixel unabhängig von Auflösung und Farb- zahl des Monitors; Bedienung ähnlich wie das Superformat (siehe dort). Offscreen (Speicher): Unter NVDI ab V2.5 läßt sich mit Hilfe der "En- hancer"-Funktion die Bildschirmausgabe in einen Speicherbereich umlei- ten. Damit ist die Bildgröße nur noch vom Speicherumfang begrenzt! - Bilddatei. Mit diesen beiden Knöpfen sind vier Einstellungen möglich: Bilder werden konvertiert und gepackt (empfohlene Standardeinstellung); Bilder werden nur konvertiert, also nicht gepackt und sind damit durch- schnittlich 50% größer. Vorteil: Bilder lassen sich schneller laden, da das Entpacken entfällt. Bilder werden nur gepackt. Durch den Wegfall des Konvertierens spart man Hauptspeicher, kann die Bilder jedoch nicht mehr in einer anderen Farbauflösung laden. Bilder werden weder gepackt noch konvertiert: nur für eine Bilderfolge zu empfehlen, bei der es auf Geschwindigkeit des Ladens ankommt (Film- sequenz für FRACSHOW!). - Coprozessor: FRACTALS unterscheidet zwischen TT- und ST-FPU, da diese mathematischen Coprozessoren intern unterschiedlich angesprochen wer- den. Die Knöpfe sind nur anwählbar, wenn ein solcher "Rechenkünstler" eingebaut ist und Sie eine namentlich installierte Vollversion von FRACTALS besitzen. Der DSP des FALCONs wird (noch) nicht unterstützt. - Interpolation (gültig für die Iterationstypen Mandelbrot, Juliamenge, Biomorphe und Newton-Attraktoren): keine Interpolation: es wird jedes Bild- oder Druckerpixel berechnet, also höchste Genauigkeit bei der Berechnung. Punkt-Interpolation: Interpolation zwischen benachbarten Punkten - einfach aber sehr effektiv und mit hoher Genauigkeit! Zeilen-Interpolation, dem "Guessing-Mode" von "FRACTINT" (Fraktal-Pro- gramm für IBM-kompatible PC') nachempfunden. Bei nicht zu komplexen Bildstrukturen die schnellste Interpolationsart. Flächen-Interpolation: Interpolation quadratischer Flächen zwischen 4 und 32 Pixeln. Optisch die interessanteste Interpolation! Preview-Verfahren: Eigentlich keine Interpolation; das Bild wird in schrittweise verfeinerten Berechnungsstufen aufgebaut, dadurch bekommt man schnell einen ersten Eindruck vom Bild, ohne es unbedingt zu Ende berechnen zu müssen. - Überschreibwarnungen werden für Bilder und/oder Tiefenwerte ausgegen, wenn noch nicht gespeicherte Bilder oder Tiefenwertfelder überschrieben oder überladen werden sollen. - Tiefenwertdatei anlegen: Hiermit wird die automatische Erstellung eines Tiefenwertfeldes während der Bildschirm-Iteration ein- oder ausgeschal- tet. Damit sich Bilder nachbearbeiten oder dreidimensional projizieren lassen, muß eine Tiefenwertdatei auf jeden Fall vorhanden sein! - Farbpalette anhängen: Im Farbbetrieb werden für jeden Bildspeicher lo- kale Farbpaletten verwendet, außerdem werden Bilddateien zusammen mit ihrer Paletten Paletten gespeichert/geladen. - Farben 2 - 15 verwenden: Im Betrieb mit 256 Farben kann hiermit einge- stellt werden, ob diese Farben bei der Veränderung der Palette berück- sichtigt werden sollen oder nicht. Auch wenn dies die Anzahl der zur Verfügung stehenden Farben etwas verringert, sollte man diese Farben, die vom Betriebssystem verwendet werden, besser nicht verändern. - Desktop-Hintergrund: kein Desktop bedeutet, daß kein eigener Desktop verwendet wird (nur unter Multitasking empfehlenswert! die Verwendung der Hintergrund-Grafik und der Bildspeicher-Icons kann getrennt ein- oder ausgeschaltet werden. - Desktop-Farbe: Im Farbbetrieb die Farbe des (eigenen) Desktops; bei weniger als 256 Farben sollte man Farbe 1 (= Schwarz) benutzen. - Gong: Ein- und Ausschalten des Signaltons nach beendeter Iteration. - Dialoge zentrieren: FRACTALS unterstützt virtuelle Bildschirm-Auflö- sungen, bei denen der Monitor quasi wie ein Fenster auf einen größeren Bildschirm arbeitet. Bei Aktivierung dieses Knopfes werden GEM-Fenster und Dialoge mittig auf dem Bildschirm ausgegeben, sofern möglich. - Bildspeicher komprimieren: Bilder werden intern gepackt, womit man bei nicht zu komplexen Bildern einigen Speicher spart! - Parameter automatisch abspeichern: Bei jedem Programm-Ende wird eine aktualisierte FRACTALS-INF-Datei angelegt. 2. Im Dialog "Speicher-Information" wird die Größe des von FRACTALS verwen- deten Speichers angezeigt bzw. eingestellt. - Freier Hauptspeicher: Das ist der Speicher, der nach Programmstart von FRACTALS für Felder und Bildspeicher dynamisch verwaltet wird. - Belegter Bildspeicher: Zeigt den Umfang des von Bildern benötigten Speicherplatzes an. - Maximal verwendeter Hauptspeicher: Bei Programmstart läßt sich hiermit festlegen, wievile Speicher sich FRACTALS maximal vom zur Verfügung stehenden Hauptspeicher "klaut". - reservierter Systemspeicher: Da FRACTALS noch nicht über eine echte dynamische Speicherverwaltung verfügt, muß die Größe des Speichers, der nach Programmstart an das Betriebssystem zurückgegeben wird explizit angegeben werden. Da die Systemspeicher-Reserve in FRACTALS.INF gesi- chert und somit bei jedem Neustart auf den gesetzten Wert gestellt wird, muß man notfalls das INF-File löschen, um wieder auf den Default- Wert von 100 kByte zu kommen. - zusätzlicher Systemspeicher: Dieser Speicherbereich, dessen ausreichen- de Größe (ohne Multitasking-Betriebssystem) vor allem für die reibungs- lose Benutzung von GDOS wichtig ist, läßt sich durch einen Fehler im verwendeten GFA-BASIC leider nur vergrößern!! - Tiefenwert-Speicher: Hiermit läßt sich die Größe des Tiefenwert-Spei- chers neu einstellen, z.B. wenn die Bilditeration abgebrochen wurde, weil das Feld überzulaufen drohte (siehe Kapitel Iteration). Das Tie- fenwert-Feld sollte daher großzügig dimensioniert werden! - Vorgabe der maximal möglichen Rechentiefe: Da mit diesem Wert feste Speicherfelder für das Verteilungsdiagramm und die Farbzuordnung dimen- sioniert werden, sollte bei knappem Speicher bedacht werden, ob diese Rechentiefe wirklich benötigt wird. Bei der maximal möglichen Rechen- tiefe 65535 werden fast 400 kByte verbraucht! Der Mindestwert-Tiefen- wert beträgt 4000. ############# KAPITEL 7 ############# Internes 1. Berechnungszeiten: Normalerweise muß jeder auf dem Bildschirm sichtbare Bildpunkt errechnet werden, um ein Fraktal darzustellen. Dies geschieht in einer "Iterations- schleife" (s. Kapitel 1, mathematische Grundlagen) und ist immer sehr zeitaufwendig, da viele Berechnungen durchgeführt werden müssen. Wird also ein Bild berechnet, wie z.B. die Grundfigur der Mandelbrot- menge, das "Ur-Apfelmännchen", dann müßten bei einer Bildgröße von z.B. 400 * 400 Bildpunkten - 160.000 Pixel iteriert werden. Ohne Computer- unterstützung ist die Berechnung praktisch unmöglich! Dies ist wohl auch der Hauptgrund, warum Fraktale erst vor einigen Jahren entdeckt und er- forscht werden konnten. Aber auch modernere Mikroprozessoren, wie z.B. der 68030 im ATARI-TT oder INTEL's 486 in PC-Systemen können nicht zau- bern! Bei Verwendung von Grafikkarten mit sehr hohen Bildschirmauflösungen steigt der Rechenaufwand zudem beträchtlich an. So kann man sehr wohl sagen, daß eine hohe Auflösung auf dem Bildschirm nur mit viel "Rechenpower" ausgeglichen werden kann, die moderne Mikroprozessoren liefern. Verwendet man ein Multitasking-Betriebssystem, sinkt die Rechenkapazi- tät, da jeder Anwendung, die vom Desktop aus gestartet wird, eine be- stimmte Rechenzeit zugewiesen wird. In der Praxis bedeutet dies, daß FRACTALS V langsamer läuft als auf Rechnern, die unter "Single-Tasking" TOS-Versionen laufen. Dies ist der Preis, der für den möglichen Parallel- betrieb verschiedener Programme bezahlt werden muß! 2. Interpolation: Was bedeutet eigentlich der Begriff "Interpolation"? Allgemein kann gesagt werden, daß bei aktivierter Interpolation nicht mehr jeder Bildpunkt durch die zeitaufwendige Iteration berechnet wird. Prinzipiell wird immer von benachbarten Bildpunkten - im Rechner als Tiefenwert gespeichert - auf den Tiefenwert bzw. auf die Farbe benach- barter Bildpunkte geschlossen. Hierbei entstehen Fehler, und zwar umso mehr, je weniger Punkte exakt berechnet werden. Bei geschickter Wahl des Interpolationsabstandes sind diese Lagefehler aber vernachlässigbar klein und mindern daher bei den heute üblichen hohen physikalischen Bildschirm- auflösungen nur sehr geringfügig den optischen Eindruck des erstellten Bildes. Um Interpolationsfehler ganz auszuschließen, läßt sich die Interpolation natürlich auch deaktivieren! Folgende Interpolationsarten stehen zur Verfügung, die im Dialog "Allge- meine Einstellungen" ausgewählt werden können: a) keine Interpolation b) Punkt-Interpolation c) Flächen-Interpolation d) Zeilen-Interpolation e) Preview-Verfahren Die Punkt- sowie die Zeilen-Interpolation laufen immer unsichtbar im Hintergrund ab. Erst wenn die Berechnung abgeschlossen sind, werden die fertig errechneten Bildteile in Form von Pixelzeilen ausgegeben. Mit zunehmender Vergrößerung müssen Sie sich dann schon etwas mehr gedul- den, bis neue Bildteile sichtbar werden. Generell gilt, daß die Rechenzeit eng mit dem Grad der Strukturierung eines Bildes zusammenhängt. Je detaillierter, strukturierter ein Bild ist, umso mehr muß gerechnet und um so weniger kann durch Interpolation Zeit gewonnen werden. Im Folgenden wollen wir die einzelnen Verfahren kurz vorstellen: a) keine Interpolation: Das Bild wird Punkt für Punkt errechnet. Die Iteration einer Bildzeile findet vollständig im Hintergrund statt und wird nach ihrer Berechnung komplett ausgegeben. Die Rechenzeit steigt mit zunehmender Vergrößerung und Rechentiefe. Vorteil : exakte Ermittlung der Farbe und 'Tiefe' für jeden einzelnen Bildpunkt. Nachteil: lange Berechnungszeiten! Unser Rat: möglichst nicht anwählen....! b) "Punkt-Interpolation": - Die erste Bildschirmzeile wird Punkt für Punkt iteriert und anschlie- ßend auf dem Bildschirm ausgegeben. - Von der 3. Zeile wird jeder zweite Bildpunkt iteriert. - Die zwischenliegenden Pixel werden interpoliert: haben die benachbarten Punkte den gleichen Tiefenwert, so erhält auch der zu interpolierende Punkt diesen Wert - sind sie verschieden, so muß auch der Tiefenwert dieses Punktes neu iteriert werden. - Genauso werden die Punkte der zweiten Zeile interpoliert, indem die darüber- und darunterliegenden Tiefenwerte der ersten und dritten Zeile miteinander verglichen werden. - Ausgabe der errechneten zweiten und dritten Zeile auf dem Bildschirm. - Jetzt kann mit der 5. Zeile (wie bei der 3.) fortgefahren werden. Je nach Komplexität des Bildes wird die Rechenzeit durch dieses Verfahren etwa um den Faktor 2-3 beschleunigt. Die Punkt-Interpolation bringt die besten Ergebnisse bei stärker strukturierten Bildern mit möglichst wenig bzw. kleinen, einfarbigen Flächen. c) Flächen-Interpolation: Wählen Sie dieses Verfahren, dann müssen Sie die Größe der maximal inter- polierten Fläche festlegen. Dabei muß die Bildbreite immer ein Vielfaches der Breite der gewählten Interpolationsfläche (also 32, 16, 8 oder 4 Pi- xel) sein. Andernfalls beschwert sich das Programm! Dieses Verfahren erklärt sich von selbst, da im Gegensatz zur Punkt- und Zeilen-Interpolation der soeben errechnete Bildpunkt sofort ausgegeben wird. Zunächst werden die Umriß-Punkte des aktuellen Rechtecks bestimmt. Haben alle Bildpunkte die gleiche Rechentiefe, wird die Fläche hiermit gefüllt. Unterscheiden sich Bildpunkte, wird die gesamte Fläche gevier- telt. Von jedem Viertel werden nun wieder die Umriß-Punkte bestimmt usw. Die kleinste Fläche, die interpoliert werden kann, besteht aus vier Bild- punkten Kantenlänge. Wird diese Breite unterschritten, weil durch unter- schiedliche Tiefenwerte die dazugehörende Fläche nicht gefüllt werden kann, so müssen alle dazugehörenden Bildpunkte einzeln berechnet werden. Bei stark strukturierten Bildern können also die Vorteile einer Flächen- Interpolation schnell aufgehoben werden. Sie erkennen das auch daran, daß die Interpolationsflächen immer weiter geviertelt werden müssen. Das kostet Zeit! Im Extremfall gewinnen Sie keinerlei Vorteile aus diesem Modus. Wenden Sie deshalb die Flächen-Interpolation nur an, wenn Ihr Bild sehr große einfarbige Flächen enthält. Selbst hier kann unter Umständen die Zeilen-Interpolation noch schneller sein. Unser Tip: wenn Sie was fürs Auge haben wollen... d) Zeilen-Interpolation: In gewisser Weise handelt es sich bei dieser Interpolationsart um ein Verfahren, das zwischen der Punkt- und der Flächen-Interpolation einzu- ordnen ist. Wir haben hier den Versuch unternommen, die Vorteile der bei- den beschriebenen Verfahren zu vereinigen. Vielleicht kennen Sie das be- kannte fraktale Shareware-Programm "FRACTINT" aus der PC-Welt. Die Zeilen-Interpolation entspricht (mit einigen Änderungen) in etwa dem dort verwendeten "GUESSING" - Verfahren und darf somit als ein sehr schnelles Verfahren eingestuft werden. Es gibt allerdings auch deutliche Änderun- gen, da wir diesen Modus an die erweiterten Möglichkeiten von FRACTALS V anpassen mußten. Auch hier läuft die Berechnung im Hintergrund ab. Ein "Rechenzyklus" besteht aus folgenden Schritten: - Die erste Bildschirmzeile wird Punkt für Punkt iteriert. - Von der 9. Zeile wird jeder Bildpunkt im Abstand x iteriert. Im ersten Durchlauf gilt: x = 8 Pixel Breite. - Die zwischenliegenden Pixel werden im Abstand x/2 interpoliert: haben die benachbarten Punkte den gleichen Tiefenwert, so erhält auch der zu interpolierende Punkt diesen Wert - sind sie verschieden, so muß der Tiefenwert dieses Punktes neu iteriert werden. - Genauso werden die Punkte der 5. Zeile interpoliert, indem die darüber- und darunterliegenden Tiefenwerte der ersten und neunten Zeile mitein- ander verglichen werden. - Jetzt wird x = 4 gesetzt und die zwischenliegenden Pixel der ersten und fünften Zeile im Abstand x/2 interpoliert bzw. wenn notwendig iteriert. Wir erhalten die ersten Pixel der 3. Zeile im Abstand x/2. - Nun werden die Punkte der 7. Zeile interpoliert, indem die darüber und darunterliegenden Tiefenwerte der fünften und neunten Zeile miteinander verglichen werden. - Der Abstand 'x' wird schließlich auf x = 2 gesetzt und wir fahren mit der Punkt-Interpolation zwischen der 1. Zeile und 3. Zeile, dann zwi- schen der 3. Zeile und 5. Zeile usw. fort, bis wir nach insgesamt vier Durchläufen die 9. Zeile erreichen. - Ausgabe der errechneten Zeilen 1 bis 8 auf dem Bildschirm. - Die berechnete 9. Zeile des Bildes wird nun wieder als 1. Zeile ange- nommen. Jetzt kann der nächste Bildstreifen (die Zeilen 9 bis 18) be- rechnet werden. Auch hier unser Tip: Erstellen Sie die Grundfiguren aller Formeln immer in diesem Modus. Bei sehr strukturierten Bildern ist die Zeilen-Inter- polation etwas langsamer als die Pixel-Interpolation, da der Verwaltungs- aufwand hier größer ist. Das ändert sich aber sehr schnell, wenn auch nur einige einfarbige Flächen mittlere Größe im gezoomten Bild zu berechnen sind. Dann gewinnt dieses Verfahren deutlich an Boden. Geduld müssen Sie aber auch hier mitbringen; schließlich müssen erst mehrere Zeilen berech- net werden, bevor Sie etwas auf dem Bildschirm sehen. e) Preview-Verfahren: Ebenso wie in der Flächen-Interpolation wird jeder errechnete Bildpunkt sofort ausgegeben. Das Bild wird dabei in meheren Durchläufen erstellt, erst in einer groben Rasterung (32 Pixel Breite & Höhe) und in der Folge mit jeweils halber Rasterung nachgebessert. Wenn möglich wird zwischen den Bildpunkten interpoliert. Allerdings ist hier die Fehlerrate höher als in den anderen Interpolationsverfahren. Mit diesem Verfahren gewinnt man sehr schnell einen ersten Eindruck ("Preview") vom Bild. Für Grundfiguren sollten Sie diesen Modus aber nicht aktivieren. Im Gegensatz zu allen anderen Interpolationsarten kann hier eine Bildberechnung nicht abgebrochen werden, um sie später an gleicher Stelle fortzusetzen. Außerdem lassen sich die Tiefenwerte eines Preview-Bildes auch nur dann auswerten, wenn die Iteration nicht vorzeitig abgebrochen wurde. Zur Berechnung ist es notwendig, das Tiefenwertfeld ausreichend zu dimensionieren, da die Tiefenwerte bei der Bildberechnung zunächst nicht komprimiert werden. Faustformel für die Tiefenwertdimensionierung: Bildbreite * Bildhöhe * 2 Speicherbedarf. 3. Festkomma- und Fließkomma-Arithmetik: Mit FRACTALS V steht Ihnen neben einer Fließkomma-Arithmetik auch eine Festkomma-Arithmetik zur Verfügung, die sich ja bereits in den früheren Programmversionen bewährt hat. Auf die Unterschiede gehen wir gleich ein. Zunächst aber sei gesagt, daß Sie über diese Dinge nicht unbedingt Be- scheid wissen müssen, um mit FRACTALS V erfolgreich arbeiten zu können, denn FRACTALS V entscheidet automatisch, in welchem "Modus" die angewähl- te Iterationsformel berechnet werden muß. Als Anwender interessiert Sie wahrscheinlich eher, mit welcher Geschwindigkeit ein Bildausschnitt er- stellt wird. Da sind wir natürlich stolz Ihnen sagen zu können, daß FRACTALS V zu den schnellsten Programmen seiner Art gehört! a) Festkomma-Arithmetik: Für die klassische Mandelbrotmenge "z^2 + c" (Formel der "Apfelmännchen"- Grafiken) wird immer eine optimierte Festkomma-Arithmetik verwendet. 'Optimiert' bedeutet, daß FRACTALS V mit einer an die Vergrößerung ange- paßten Genauigkeit rechnet, d.h. die Anzahl der relevanten Nachkomma- stellen wird begrenzt und damit die Rechengeschwindigkeit optimiert. Das Ausgangsbild der Mandelbrotmenge, das "Ur-Apfelmännchen" wird in der Regel mit einer 16-Bit Festkomma-Arithmetik berechnet. Sie bietet höchste Geschwindigkeit, allerdings bei begrenzter Genauigkeit. Zoomen Sie nun in die Tiefe des Bildes, werden Sie schnell bemerken, daß sich die Re- chendauer bei zunehmender Vergrößerung erhöht. Dies muß so sein, da sich die Bildgrenzen ("Xmin", "Xmax" bzw. "Ymin", "Ymax") ständig verkleinern ("Zoomeffekt") und damit die Anzahl der signifikanten Nachkommastellen steigt. Befindet sich in Ihrem Rechner keine FPU oder wurde diese abgeschaltet, unterscheidet FRACTALS V zwischen folgenden Festkomma-Modi, die immer automatisch anhand der Vergrößerung festgelegt werden: 16-Bit: ca. 3 Nachkommastellen genau (Grundfigur und erste Vergr.) 32-Bit: ca. 7 Nachkommastellen genau 48-Bit: ca. 12 Nachkommastellen genau 64-Bit: ca. 16 Nachkommastellen genau Eine 64-Bit-Festkomma-Arithmetik mit 16 Nachkommastellen Genauigkeit ist wesentlich zeitaufwendiger als beispielsweise eine 32-Bit-Arithmetik mit nur sieben Nachkommastellen. Bei entsprechend groß gewählter Rechen- tiefe könnten Sie Ihren Rechner durchaus einige Tage im 64-Bit Modus beschäftigen! Nach Fertigstellung eines Bildes finden Sie zu Ihrer Information in der Info-Box sowie im Bild-Info immer den verwendeten Iterationsmodus ange- geben. ACHTUNG: Bei allen Festkomma-Modi ist auch der Vorkomma-Anteil begrenzt! Erhöht man den Vorkomma-Anteil, indem man z.B. den Radius eines Bildes auf Werte über 4 vergrößert, wird entweder in eine Fließkomma-Emulation ("CPU-Fließkomma") umgeschaltet oder bei nicht zu starker Bildvergrößerung ein erweitertes Festkomma- Format ("32 Bit-erweitert") auf Kosten der Rechengenauigkeit verwendet. Um den Einfluß des Radius auf die Iteration zu veranschaulichen, können Sie im Dialog "Parametereingabe" im Menü "Iteration" diesen beispielswei- se von 4 auf 8 erhöhen. Sie werden bemerken, daß die Berechnung der Grundfigur nun etwas mehr Zeit erfordert, da das Bild jetzt nicht mehr im 16-Bit Modus, sondern im erweiterten 32-Bit Modus iteriert wird. Außerdem ändert sich mit dem neuen Radius der optische Eindruck des Bil- des ein wenig. Mit zunehmender Erhöhung des Radiuswertes läßt sich ein "kosmetischer" Effekt erzielen, indem das Bild in seinen Randbereichen etwas ausgeglichener erscheint - am deutlichsten im Bereich der Antenne. Bei Vergrößerung des Radiuswerts auf 100 wird die langsame Fließkomma- Arithmetik verwendet. Beachten Sie bitte auch, daß Bilder, die sich be- reits deutlich im 48-Bit- oder 64-Bit-Zahlenbereich bewegen, auf jeden Fall in der langsameren Fließkomma-Emulation berechnet werden, wenn Sie den Radiuswert auf einen höheren Wert als 4 einstellen. Der Wert 4 gilt also als Default-Einstellung. Julia- und Mandelbrotmengen für die Funktionen "z^3 + c", "z^4 + c" und "z^5 + c" werden, abgesehen von der optionalen Fließkomma-Emulation, immer im erweiterten 32-Bit-Modus berechnet (dies gilt auch für alle Juliamengen der Funktion "z2 + c"!) Hier steht Ihnen also kein schneller 16-Bit oder sehr genauer 64-Bit Modus zur Verfügung. Bei höheren Funktionen wird stets die Fließkomma-Emulation verwendet, da sich hier eine Festkomma-Arithmetik nicht lohnt. Sie müssen also hohe Rechenzeiten in Kauf nehmen, wenn Ihr Rechner über keinen mathematischen Coprozessor verfügt! Die Beschleunigung durch eine FPU ist enorm: Benötigt z.B. ein älterer ST mit 8 MHz Taktfrequenz für die Berechnung der Grundfigur der Formel "cos (z) + c" noch fast 40 Minuten, so braucht ein MEGA-STE mit FPU nur noch ca. 2.5 Minuten! b) Fließkomma-Arithmetik mit FPU: Die evtl. eingebaute FPU (im TT serienmäßig, bei allen anderen Rechner- typen optional) wird durch spezielle Routinen, die z.T. in Maschinen- sprache geschrieben worden sind, optimal unterstützt. Nur die 16-Bit-Arithmetik bleibt in ihrer Rechengeschwindigkeit unge- schlagen und wird in der ST-Programmversion weiterhin benutzt, um die Mandelbrot-Grundfigur der Iterationsformel "z^2 + c" zu erstellen. (In der TT-Version wird auch diese Grundfigur mit Hilfe des Koprozessors berechnet. Um hier noch einige Sekunden herauszuholen, können Sie die Benutzung der Festkomma-Arithmetik durch Abschalten der FPU im "Ein- stell"-Dialog erzwingen!) Der 68000-Prozessor kann im Gegensatz zum 68030-Prozessor im TT bzw. Falcon 030 einen Coprozessor nur als "Portbaustein" ansprechen. Das heißt, sie bilden keine echte Einheit, wie z.B. das 68030/68882-Gespann im TT. Portbausteine müssen immer adressiert werden, was bedeutet, das einige Zeit während des Datenaustausches zwischen CPU und FPU verloren geht. Hat der Coprozessor (FPU) aber alle Daten, dann ist er nicht viel langsamer als das oben erwähnte Gespann im TT oder Falcon, sieht man ein- mal von der geringeren Taktfrequenz ab. Speziell diese Datenschnittstelle zwischen FPU und CPU im ST(E) wurde von uns optimiert. Die Ergebnisse können sich sehen lassen! Nach Fertigstellung eines Bildes finden Sie in der Info-Box den Itera- tionsmodus "FPU-Fließkomma" immer dann angegeben, wenn die Iteration speziell für die FPU optimiert wurde. Dies trifft auf fast alle Formeln zu! Mit der Fließkomma-Arithmetik stehen ca. 19 Nachkommastellen bei fast beliebig großem Vorkommaanteil zur Verfügung.